В первую очередь необходимо установить точно, что это аллергия именно на шерсть конкретного животного и обратиться для этого к аллергологу, иммунологу и сдать соответствующие анализы.
В случае, когда ничего сделать больше нельзя, а постоянное присутствие животного в квартире несет реальную угрозу здоровью, тогда ваша ответственность перед питомцем заключается в том, чтобы найти для него новый подходящий дом - друзья, родственники, знакомые, любители породы (ваши знакомые собачники или собачники из онлайн групп, в которых вы, возможно, состоите).
Если не удается найти новый дом через "своих", тогда нужно "пиарить" питомца в сети - сайты по пристройству, группы в соц.сетях, группы помощи животным.
Имейте в виду, что на пристройство потребуется время, и если нахождение с животным в одном помещении невозможно уже сейчас, то нужно первым делом и в срочном порядке найти передержку, которую можно найти через знакомых и друзей, а если нет, то по группам в соц.сетях и только (!) по рекомендациям и с непосредственным вывозом животного на передержку самостоятельно, чтобы вы могли проверить условия содержания, и чтобы животное не попало в плохие руки. Лучше заключить с передержкой договор о временном содержании.
Отдавая животное в новый дом тоже обязательно отвозите сами и подписывайте договор, в котором помимо прочего будут прописаны и регулярные отчеты о жизни животного от новых хозяев.